jordan-normal-form
TL;DR⚑
- Jordan Normal Form은 모든 정방행렬을 대각화에 가까운 형태로 변환하는 도구임.
- 대각화가 불가능한 행렬도 Jordan Block을 사용해 분석 가능함.
- 선형대수와 미분방정식 해석 등에서 활용됨.
Jordan Normal Form이란?⚑
- 정방행렬을 고유값과 고유벡터를 이용하여 특정 구조로 변환함.
- Jordan Block은 대각선에 고유값이, 대각선 바로 위에 1이 배치된 구조를 가짐.
- 고유값의 중복도와 행렬의 내재적 성질을 나타냄.
특성 다항식과 고유값 계산⚑
행렬 \( A \)와 특성 다항식⚑
특성 다항식 \( p(\lambda) \)는 행렬의 고유값을 구하기 위한 도구로, 아래와 같이 계산함.
\[ p(\lambda) = \det(A - \lambda I) \]
주어진 행렬 \( A \)는 다음과 같음.
\[ A = \begin{bmatrix} 5 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \]
-
\( A - \lambda I \) 계산:
\[ A - \lambda I = \begin{bmatrix} 5-\lambda & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 3-\lambda & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 2-\lambda \end{bmatrix} \] -
행렬식 계산:
\[ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 5-\lambda & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 3-\lambda & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 2-\lambda \end{vmatrix} \]
위 식을 확장하여 풀이하면 특성 다항식 \( p(\lambda) = (\lambda - 1)(\lambda - 2)(\lambda - 4)^2 \)을 얻음.
고유값⚑
- 고유값: \( \lambda = 1, 2, 4 \) (중복도: \( \lambda = 4 \)는 2)
- \( \lambda = 4 \)의 경우, 고유공간 차원이 1로 일반화된 고유벡터가 필요함.
Jordan Normal Form 변환 과정⚑
Jordan Normal Form⚑
행렬 \( A \)는 다음과 같은 Jordan Normal Form으로 변환됨.
\[ J = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \]
\( P \) 행렬의 구성⚑
- \( P \)는 고유벡터와 일반화된 고유벡터를 열벡터로 가짐.
- 일반화된 고유벡터는 다음과 같이 계산됨:
- \( (A - 4I)p_3 = 0 \): 고유벡터 \( p_3 \) 구함.
- \( (A - 4I)p_4 = p_3 \): 일반화된 고유벡터 \( p_4 \) 구함.
활용 및 응용⚑
- Jordan Normal Form을 통해 행렬의 구조와 특성을 분석 가능.
- 대각화가 어려운 행렬에서도 고유값과 대응 관계를 명확히 파악 가능.
- 선형 시스템 해석, 미분방정식 풀이, 변환 이론 등 다양한 분야에서 사용됨.
마무리⚑
- Jordan Normal Form은 행렬 분석에서 강력한 도구로, 고유값과 구조적 특징을 파악하는 데 유용함.
- 예시를 통해 변환 과정을 이해하고, 이를 다양한 응용 분야에서 활용할 수 있음.