analysis-basic

대학교때 배운 해석학 내용을 정리해보자. 현재 시점에서 연습문제를 풀 수 있는 시간도 능력도 없다. 수학적으로 다루었던 개념들에 대한 정의 및 주요한 정리들을 기록하고, 최소한의 직관적인 이해를 목표로 한다. 다행히도 관련된 solution 이 있기에, 필요한 것들은 참조하면서 보면 된다.

간략한 목표

  • 극한의 개념을 엄밀하게 정의
  • 좌표공간의 여러가지 성질 중에서 특히 두 점 사이에 정의되는 ‘거리'로부터 얻어지는 성질들을 집중적으로 살펴보고, 이를 이용하여 연속함수들의 성질을 공부
  • 푸리에급수를 공부하기 위해서, 르벡적분과 적분가능한함수공간을 도입

[정의] 체의 공리 - 실수 전체 집합 \(\R\) 에는 두 가지 연산 더하기와 곱하기가 있어서 다음의 성질을 만족한다.

  1. 덧셈에 대한 결합법칙
  2. 덧셈에 대한 항등원
  3. 덧셈에 대한 역원
  4. 덧셈에 대한 교환법칙
  5. 곱셈에 대한 결합법칙
  6. 곱셈에 대한 항등원
  7. 곱셈에 대한 역원
  8. 곱셈에 대한 교환법칙
  9. 덧셈과 곱셈에 대한 분배법칙

[정의] 순서 공리 - 실수체에는 비어있지 않은 부분집합 P가 존재하여 다음과 같은 성질을 가진다.

  1. \(a,b\in P \Longrightarrow a+b,\ ab \in P\)
  2. \(\R = P \cup \{0\} \cup (-P)\)
  3. 집합 \(P, \{0\}, (-P)\) 는 서로소이다.

두 실수 a, b 에 대해서 \(a-b \in P\) 이면 a 가 b 보다 크다라고 말하고 \(a > b\) 로 표기한다.

[정의] 완비성 공리

  1. 위로 유계이며 비어있지 않은 집합은 최소 상계를 가진다.
  2. 아래로 유계이며 비어있지 않은 집합은 최대 하계를 가진다.

[정의] 상계 및 하계

  • 집합 \(S \sub \R , a\in\R\) 이 있을 때, \(x\in S \Rightarrow x \le a\) 가 성립하면 a 는 S 의 상계라고 한다.
    • "순서 공리"에 의해서 순서가 정의되어 있기 때문에 "유계" 라는 말이 가능하다.
    • 위에서 언급된 순서공리 P 에 의해서 임의의 두 실수 a, b 에 대해서 \(a-b \in P\) 이면 a 가 b 보다 크다라고 말하고 \(a > b\) 로 표기할 수 있기 때문이다.

[정의] 상한 및 하한

  • 상계를 가지는 집합을 위로 유계 라고 한다.
  • 유한 집합은 위로 유계이지만, 실수 집합은 위로 유계가 아니다.
  • 상계 중 가장 작은 수를 최소상계 또는 상한라고 한다. \(\sup S\) 라고 한다.
    1. a 는 S 의 상계이다.
    2. b 가 S 의 상계이면 a ≤ b 이다.
    3. 이때 a 를 S 의 최소 상계 또는 상한이라고 부르며 \(\sup S=a\) 이다.
  • 비슷한 방식으로 아래로 유계, 하한 \(\inf S\) 를 정의할 수 있다.

[정의] 열린 집합

  • 기초 해석학에서는 \(R^n\) 에서 정의된 \(N(x,r) = \{y \in \R^n:||y-x|| < r \}\) 로 정의된 근방을 통해서 논의를 이어간다.
  • 집합 A \(\sub \R^n\) 와 한 점 \(x \in \R^n\) 가 있을 때, \(N(x,\epsilon) \sub A\) 를 만족하는 양수 \(\epsilon\) 이 존재하면 x 는 A 의 내부점이라고 한다.
  • 집합 U 가 열린 집합일 필요 충분 조건은 \(\text{int}U = U\) 이다. ( 즉 집합의 모든 원소가 내부점이어야 한다. )
    • 집합 A 의 내부점들의 집합을 A 의 내부라고 하고, \(\text{int}A\) 로 표기한다
    • 집합 \(F \sub \R^n\) 의 여집합이 열린 집합이면 F 를 \(R^n\) 의 닫힌 집합이라고 한다.
    • N(x,r) 을 통해 논의를 진행하고 있다는 것을 상기하자. 여기서 "내부" 라는 것은 topology 에서 base 를 통해서 조금 더 일반화 된다.
  • "열린집합" 에서 "열린" 은 boundary point 를 포함하지 않는 다는 직관적 의미에서 나온 것이다. "열린" 은 "boundary" 를 건드리지 않고 어느정도 "자유롭게" 움직일 수 있다는 직관을 가진다.
  • "열린" 은 "근방" 이라는 개념을 정의할 수 있게 해줌으로써 해석학에서의 연속성 등을 연구할 수 있도록 해주는 개념이다.
  • 열린집합의 "유한" 교집합은 여전히 열린집합입니다. 열린집합의 합집합은 여전히 열린집합이다. 이러한 성질은 열린집합이 주변에 점들을 가지고 있고, 교집합과 합집합 연산을 통해 열린집합의 특성을 유지한다는 것을 의미한다.
  • "열린" 이라는 의미는 위상 수학의 기본적인 개념이며, 연속성, 수렴성 그리고 다른 중요한 개념들을 정의할 때 핵심적인 개념이다.

닫힌 집합

  • 닫힌 집합이 될 필요 충분 조건을 생각해보자.
    • 열린 집합과 닫힌 집합의 차이점을 생각해보면, 닫힌 구간에서 수렴하는 수열이 있으면 그 극한은 반드시 닫힌 집합의 원소가 된다. 그러나 열린 집합은 그러하지 못하다.
  • 다음이 동치다.
    • F 가 닫힌 집합이다.
    • \(F' \sub F\)
    • \(\bar{F}=F\)
    • F안의 수열 <\(x_n\)> 이 x 로 수렴하면 \(x\in F\) 이다.

[정의] 극한점

  • 집합 \(A \sub R^n\) 과 점 \(x \in R^n\) 에 대해서 \(\forall \epsilon >0, \exist x'\in (A-\{x\}) \cap N(x,\epsilon)\) 이면, x를 A의 극한점이라고한다.
    • 적당히 자기 주변에 점들을 잡았을 때 무한히 점이 많다는 뜻이다.
  • 집합 \(A \sub \R^n\) 이 닫힌 집합일 필요 충분 조건은 A 의 모든 극한점이 A 에 속한다는 것이다.
  • A 의 극한점을 모두 모은 집합을 \({A}'\) 로 표시하고 \(A\) 와 \({A}'\) 의 합집합을 A 의 닫힘(closure)이라고 부른다.
  • 일반적으로 \(\bar{A}= X\) 이면 A 가 X 에서 조밀(dense)하다고 말한다.

[정의] 고립점

  • \(x\in A\) 가 A의 고립점일 필요충분조건은
    • 적당한 양수 \(\epsilon\) 이 존재해서 \(N(x,\epsilon) \cap A = \{x\}\) 이다.
    • 즉 전체 집합 ( A ) 에 대해서 "근방"에 자기 밖에 없다는 것

[정의] 유계집합

  • 집합 A 가 유계라는 것은, 적당한 양수가 있어서 \(A \sub N(0,R)\) 이라는 거다.
    • 보통은 집합이 metric space (M, d) 일 때 정의할 수 있는 듯 참고
  • 즉 적당한 크기의 공안에 A의 모든 원소를 포함시킬 수 있다는 뜻이다.
  • 유계집합 A 가 무한집합이라면 극한점을 가진다 ( 볼차노-바이어슈트라스 정리 )

[정의] 코시수열

  • 임의의 양수 \(\epsilon\)에 대해서, 적당한 자연수 N 이 존재해서 $N \le n,m $ 이면, \(||x_m - x_n|| < \epsilon\) 이면 코시수열이라고 한다.
  • 수렴하는 수열은 코시수열이다. 또한 임의의 코시 수열은 유계이다.
  • 코시수열의 부분수열이 점 x 로 수렴하면 코시수열도 점 x 로 수렴한다.
    • 특정한 한 자연수 N 보다 큰 모든 자연수 n 에 대해서 \(||x_n - x|| < \epsilon\) 이 성립하기 때문에, 적당히 삼각 부등식을 활용하면 보일 수 있다.
  • 좌표 공간의 코시 수열은 항상 수렴한다.

[정의] 옹골집합(Compact Set)

  • 집합 K 의 임의의 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 가지면 K를 Compact Set 이라고 한다.

    • 즉, "유한"한 "열린" 덮개를 통해서 전체 집합를 다룰 수 있다.
    • Compact Set 이 아님을 보이기 위해서는 유한 부분 덮개를 가지지 않은 열린 덮개를 하나 찾아야한다.
    • 예를 들어 \(\{(k-\dfrac{1}{2}, k+\dfrac{1}{2}) \sub R : k \in N \}\) 은 자연수의 덮개이지만 유한 부분 덮개를 가질 수 없기 때문에 N 은 Compact Set 이 아니다.

    Compact Set은 "한 번에 모든 원소를 한정된 크기의 상자 안에 넣을 수 있는 집합"이라고 생각할 수 있다.

    1. Compact Set은 유계(bounded) 집합입니다. 즉, 어떤 상수 M을 정하면, Compact Set의 모든 원소는 절대값이 M보다 크지 않습니다.
    2. Compact Set은 "모든 열린 커버(open cover)"에 대해 "유한개의 열린 커버(finite subcover)"를 가져야 합니다. 이는 Compact Set이 어떤 방식으로든 무한히 늘어난 열린 영역들로 덮여져 있어도, 그 중에서 유한한 개수의 영역만으로도 Compact Set을 덮을 수 있어야 한다는 의미입니다.

  • 임의의 Compact Set 은 유계이고 닫혀있다. ( 어떻게 보면 실수의 유계 닫힌 영역의 추상화라고 볼 수 있다. "닫혀" 있음은 수렴하는 수열의 극한점과 관련된 성질이다. )

    • 유계
      • \(\{N(0,k) : k \in N \}\) 이 K 를 덮는다고 가정하자. 그러면 유한개의 원소 \(N(0,k_1), N(0,k_2), \cdots, N(0,k_n)\) 으로 K 를 덮을 수 있다.
      • 그러면 \(k=\max\{k_1, k_2, \cdots, k_n\}\) 이라고 하면, \(K \sub N(0,k)\) 이다. 따라서 K 는 유계이다.
    • 닫힘
      • K 가 Compact Set 이라고 가정하자. \(U - K\) 가 Open 임을 보이면 된다.
      • 적당히 K 에 속하지 않는 점 x 를 잡고, K 를 덮는 커버를 잡아서 -> 유한 부분 커버를 잡은 뒤 -> 그 것을 이용해서 x 가 U 의 안점임을 보여서 -> \(U-K\) 가 Open 임을 보이면 된다.

  • 상자 \(B = I^1 \times I^2 ... \times I^N \sub N\) 은 Compact Set 이다.

  • 다음이 동치다

    • 좌표공간의 부분집합 \(K \sub R^n\) 에 대해서
      1. K 는 compact set 이다.
      2. K 는 유계이며 닫혀있다.
      3. K 안의 임의의 무한 집합은 K 안에서 극한점을 가진다.
      4. K 안의 임의의 수열은 K 안에서 수렴하는 부분수열을 가진다.

  • 집합 \(K \sub R^n\) 이 Compact Set 이고 F가 K 의 닫힌부분집합이면, F도 Compact Set 이다.

  • Compact Set 으로 구성된 Class of Set \(\{K_i : i \in I\}\) 가 있을 때, 임의의 유한 부분집합 \(J \sub I\) 에 대해서 \(\bigcap_{i \in J}K_i \neq \empty\) 를 만족하면 \(\bigcap_{i \in I} K_i \neq \empty\) 이다.
    • 셀 수 있는 닫힌집합 \(S\sub R^n\)은 고립점을 가진다. ( 메모 - 이해를 못했다. )

[정의] 연결집합

  • Compact Set 이 유계 닫힌 구간의 특징에 대한 일반화라고 생각한다면, 구간에 대한 일반화를 위해 연결성을 정의할 수 있다.
  • 직관적으로는 "끊어지지 않은" 집합이라고 생각할 수 있다.