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tensor

좌표축 회전에 대해 특정 물리량이 변화하지 않는다는 관점에서 \(A^TA=I\) 는 특별하다.

스칼라, 벡터, 텐서⚑

  • 물리량 → 자연 현상의 일부를 숫자로 대표한 양
  • 스칼라 →기준계의 좌표축 회전 아래 바뀌지 않는 양
  • 벡터 → 기준계 좌표축 회전 아래 위치 벡터처럼 바뀌는 양

자연 법칙을 적용하려면 반드시 먼저 기준계를 정한다.

기준계를 정한다는 것은 원점의 위치와 좌표축의 + 방향을 정한다는 것

자연 법칙을 적용해 얻는 결과는 기준계를 어떻게 정하든지 똑같다.

벡터는 좌표축 회전에서 위치를 변환시킨 변환 행렬과 똑같은 변환행렬에 의해 바뀌어야 한다.

\[ \vec{r'} = A\vec{r} \Longrightarrow \vec{F'}=A\vec{F} \]

스칼라는 좌표축 회전에 의해서 변화하지 않아야 한다.

\[ (F')^TG'=(AF)^T(AG)=F^TA^TAG =F^T(A^TA)G=F^TG \]

따라서 변환 행렬은 직교 행렬이어야 한다.

\[ A^TA=I \]
\[ A^{-1}=A \]

다이애딕

$$ \vec{F}\vec{G}=(\hat{x_1}F_1+\hat{x_2}F_2+\hat{x_3}F_3)(\hat{x_1}G_1+\hat{x_2}G_2+\hat{x_3}G_3) \ [10px]

= $$

\[ T_{ij}'= F_i'G_j'=\Bigl (\sum_{k=1}^3a_{ik}F_k\Bigr)\Bigl(\sum_{l=1}^3a_{jl}G_k\Bigr) \\ = \sum_{k,l=1}^3a_{ik}a_{jl}T_{kl} \]

다이애딕이 텐서이기 위해서는 ( 즉 어떤 변환에 대해서 텐서곱이 변화하지 않기 위한 조건은 ) 아래와 같다.

\[ T_{ij}' = \sum_{k,l=1}^{3}a_{ik}a_{jl}T_{kl} \]

즉, 텐서도 스칼라나 벡터처럼 좌표계 회전에 의해 정의된다.

텐서 vs 행렬⚑

인덱스의 개수에 따라 텐서의 Rank 가 결정된다.

Rank = 0 인 텐서 → 스칼라 ( \(\alpha' = \alpha )\)

Rank = 1 인 텐서 → 벡터 ( \(F_i' =\sum_{j=1}^3a_{ij}F_j)\)

Rank = 2 인 텐서 → 텐서 ( \(T'_{ij} = \sum_{k,l=1}^3a_{ik}a_{jl}T_{kl}\) )

Rank =3 인 텐서 → 텐서 ( \(T'_{ijk} = \sum_{l,m,n=1}^3a_{il}a_{jm}a_{kn}T_{kl}\) )

텐서

  • 첨자가 두 개 이고 아홉 개의 숫자로 구성됨
  • 스칼라, 벡터와 함께 물리량을 대표하는데 이용됨
  • 텐서를 대표하는 기준계가 회전하면 숫자가 바뀜
  • 텐서가 행렬로 표현된다고 말할 수 있음
  • 텐서의 첨자는 세 좌표축 중 하나를 가르킨다.

행렬

  • 첨자가 두 개이고 n X m 개의 숫자로 구성됨
  • 물리량을 대표하는 것은 아니고 여러 식들을 간단히 표현하는 데 사용됨
  • 행렬을 구성하는 숫자들은 기준계와 직접 관계가 없음
  • 행렬이 텐서로 표현된다고 말하지 않음
  • 행렬의 첨자는 좌표축과 직접 관계가 있지는 않다.

관성 모멘트 vs 관성 텐서⚑

관성 모멘트

  • 1 차원 회전에서 이용
  • 한 축이 고정 → 회전 축
  • \(\vec{L}=I\vec{\omega}\) → 스칼라
  • \(T= \dfrac{1}{2}I\omega^2\)

관성 텐서

  • 3차원 회전에서 이용
  • 한 점이 고정 → 원점
  • \(\vec{L}=I\cdot\vec{\omega}\) → 텐서
  • \(T=\dfrac{1}{2}\vec{\omega}\cdot I \cdot \vec{\omega}\)