growth

학습한 것이 쌓여감에 따라 지속적으로 성장하는 사람이 된다⚑

샘 알트만은 성공하는 방법에서 Compound Yourself 라는 이야기를 했다.
복리의 마법을 누리라는 것인데, 선형적인 성장을 넘어서 지수적인 성장을 추구하라는 의미.

지수적 성장

지수적 성장은 어떤 것이 일정한 비율로 계속해서 늘어나는 성장 패턴을 말한다.
수학적으로는 \(y = e^t\) 의 형태이고 이것은 \(dy/dt = a \times y\)의 형태의 미분방정식의 해이다.
미분 방정식을 해석해보면 다음 시점의 성장이 현재 성장한 양에 비례해서 성장할 때 지수적 성장이 이뤄진다는 뜻

Exponential

자연 현상에서의 지수적 성장

이러한 지수적 성장은 자연에서도 자주 관찰되는데, 박테리아의 배양 과정에서, 충분한 양의 자원이 주어질 경우 박테리아는 빠르게 늘어나게 된다.
이 때 박테리아의 성장은 dy/dt = ax 형태로 모델링 될 수 있는데, 이 미분방정식의 해는 y = e^ax 꼴로 지수적인 성장을 나타낸다.
실제 자연계에서는 무한한 지수적 성장은 없음
실제 환경에서는 자원의 한계, 경쟁, 포식자 등 여러 요인으로 인해 성장 속도가 줄어들게 된다. 이러한 현상은 \(dy/dt = ax \* f(x)\)의 형태로 모델링 될 수 있으며, \(f(x)\)는 성장에 대한 저항 요소를 의미한다.

인간의 기억력과 지수적 성장

기본적으로 성장은 지식과 경험의 축적량으로 결정.
인류의 문명이 비약적으로 발전한 것도 문자를 통해서 지식이 축적되었기 때문
현실에서의 박테리아의 증식 예시와 동일한 논리로 인간의 성장에는 한계가 있다.
가장 큰 제약조건은 망각이라고 생각함 -> 우리는 새로운 정보를 지속적으로 습득하면서 성장하지만, 기억력의 한계로 인해 일부 정보는 잊혀짐
이러한 기억력의 한계는 로지스틱 성장 모델인 \(dy/dt = a \times y \times (1 - (y/\text{capacity}))\)로 모델링 될 수 있음. 여기서 capacity는 우리의 기억력의 최대 용량을 의미
dy/dt ( = 성장 속도 ) 가 기억 용량의 한계 도달하면 더 이상의 성장은 할 수 없게 됨. 해당 미분 방정식의 해를 그려보면 -> capacity 에 의해서 성장량이 제한되는 것을 확인할 수 있음

Exponential with cap

메모나 기록을 통해 이러한 기억력의 한계를 극복할 수 있게 만드는 주요한 도구. 기록을 통해 우리는 정보를 더 효과적으로 저장하고, 잊혀지는 것을 방지할 수 있음. 이는 마치 우리의 기억력의 'capacity'를 늘리거나 심지어 무한대로 확장하는 것과 같음.
capacity 가 무한대로 확장하거나 매우 높아진다면 \(dy/dt = a \times y \times ( 1 - 0) = a \times y\) 형태로 성장 속도가 변화하여, 지수적인 성장이 가능하게 된다.
capacity 를 늘리면 "지수적인 성장과 근사하는 수준의 성장을 하는 구간"이 늘어난다는 것. 망각은 성장에 있어서 가장 큰 적이고, 이것을 효과적으로 대응하는 것이 중요

Exponential with diffenet cap

결론

지수적 성장의 원리는 자연계, 그리고 우리의 생활에서도 흔히 볼 수 있음. 인간의 기억력 역시 그 성장에 한계가 있지만, 기록과 정보의 구조화를 통해 이러한 한계를 극복하고 지속적인 성장을 추구할 수 있음.
그러나 기록 등을 통해서 인간의 한계를 극복하기 위한 전략없이는 무한한 지수적 성장은 불가능
학습한 것이 쌓여감에 따라 지속적으로 성장하는 사람이 되기 위해서 효과적인 망각 대응 전략을 세워야 한다는 결론 -> 기록, 정보 구조화, 복습 등

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp
import matplotlib.pyplot as plt

# 지수적 성장 미분 방정식
def exponential_growth(t, y, a):
    return a * y

# 지수적 성장에 저항 요인이 추가된 미분 방정식
def growth_with_resistance(t, y, a, cap):
    return a * y * (1 - (y / cap))

# 초기 조건
y0 = [0.1]

# 시간 범위 설정
t_span = (0, 5)
t = np.linspace(*t_span, 1000)

# a 값 설정
a = 2.0
cap_1 = 4
cap_2 = 6
cap_3 = 8

# 미분 방정식 풀이
sol_exp = solve_ivp(exponential_growth, t_span, y0, t_eval=t, args=(a,))
sol_log = solve_ivp(growth_with_resistance, t_span, y0, t_eval=t, args=(a, cap_1))
sol2 = solve_ivp(growth_with_resistance, t_span, y0, t_eval=t, args=(a, cap_1))
sol3 = solve_ivp(growth_with_resistance, t_span, y0, t_eval=t, args=(a, cap_2))
sol4 = solve_ivp(growth_with_resistance, t_span, y0, t_eval=t, args=(a, cap_3))

# 1번 그림: 지수적 성장 그래프
fig1, ax1 = plt.subplots(figsize=(10, 6))
ax1.plot(sol_exp.t, sol_exp.y[0], label="Exponential Growth", color='b')
ax1.set_title("Exponential Growth")
ax1.set_xlabel("Time")
ax1.set_ylabel("y Value")
ax1.legend()
ax1.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

# 2번 그림: 로지스틱 성장의 전형적인 개형 그래프
fig2, ax2 = plt.subplots(figsize=(10, 6))
ax2.plot(sol_log.t, sol_log.y[0], label="Logistic Growth with Cap = {}".format(cap_1), color='g')
ax2.set_title("Logistic Growth")
ax2.set_xlabel("Time")
ax2.set_ylabel("y Value")
ax2.legend()
ax2.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

# 3번 그림: 다양한 cap 값에 따른 로지스틱 성장 그래프
fig3, ax3 = plt.subplots(figsize=(10, 6))
ax3.plot(sol2.t, sol2.y[0], label=f"Growth with Cap {cap_1}", color='g')
ax3.plot(sol3.t, sol3.y[0], label=f"Growth with Cap {cap_2}", color='r')
ax3.plot(sol4.t, sol4.y[0], label=f"Growth with Cap {cap_3}", color='b')
ax3.set_title("Growth with Different Capacities")
ax3.set_xlabel("Time")
ax3.set_ylabel("y Value")
ax3.legend()
ax3.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()