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matrix-classification

1. 판별값(Determinant)⚑

  • 동치 관계:

* 몫: \(\\GL(n,F)/\\SL(n,F)\cong F^\times\) * 직관: 부피·뒤집힘 정도만 같으면 동치 * 예시:

  • \(\\diag(2,3)\)과 \(\\diag(6,1)\)은 둘 다 det=6 → 동치

2. 랭크(Rank)⚑

  • 동치 관계:

* 몫: \(M_n(F)\) 전반을 \(\{0,1,\dots,n\}\)으로 층위 분류 * 직관: “선형 변환의 상공간 차원”만 같으면 동치 * 예시:

  • \(\small\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)과 \(\small\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\)은 rank=1 → 동치

3. 행렬의 유사(similarity)⚑

  • 동치 관계:

* 불변량:

  • 특성다항식 \(\chi_A(x)\)
  • 최소다항식 \(m_A(x)\)
  • Jordan 표준형
  • 직관: 좌표계만 바뀌어도 “동일한 선형 변환”

  • 예시:

  • \(\\diag(\lambda_1,\lambda_2)\)와 Jordan 블록 \(\begin{pmatrix}\lambda_1&1\\0&\lambda_1\end{pmatrix}\)은 서로 다른 동치류

4. 스펙트럼(고유값 집합)⚑

  • 동치 관계:

* 몫: 다중근·중복근 정보 포함 여부에 따라 분류 강도 조절 * 직관: “어떤 고유값을 가지는지만” 보고 묶기 * 예시:

  • \(\\diag(2,3,3)\)과 \(\\diag(3,2,3)\)은 스펙트럼 \(\{2,3\}\) 동일 → 동치

5. 콘주게이트(congruence)⚑

  • 동치 관계:

* 불변량:

  • Sylvester 관성표(signature)
  • 행렬식 부호 변화
  • 직관: 이차형식(quadratic form) 동치 분류

  • 예시:

  • 실대칭 행렬 \(\\diag(1,1,-1)\)와 \(\\diag(1,-1,-1)\)는 부호 패턴 달라 동치 아님

6. 단위행렬 등 배수(projective equivalence)⚑

  • 동치 관계:

* 불변량:

  • 비율로 정의된 스케일 불변성
  • 예: 행렬을 “프로젝트 공간”으로 볼 때

  • 예시:

  • \(A\)와 \(2A\)는 동치 (모양 변화 없이 크기만 2배)

7. 단위행렬 유니타리 유사(unitary similarity)⚑

  • 동치 관계:

* 불변량:

  • 특잇값(singular values)
  • 스펙트럼 (정규(normal) 행렬일 경우)
  • 직관: 내적 보존하는 회전·반사 동치

  • 예시:

  • SVD 분해로 \(\Sigma\)가 동일한 두 행렬은 동치

8. Smith 정준형식 (정수 행렬)⚑

  • 동치 관계:

* 불변량:

  • 불변인수(invariant factors)
  • 초월수(decomposition)의 계수
  • 직관: 정수 선형 변환의 동치 분류

▶️ 정리⚑

각 불변량은 “어떤 성질만 같으면 동치”라는 동치 관계를 정의하며, 이를 통해

  • det→부피 스케일링 분류
  • rank→상공간 차원 분류
  • similarity→동일 선형 변환 분류
  • spectrum→고유값 분류
  • congruence→이차형식 분류
  • projective→스케일 무시 분류
  • unitary→내적 보존 분류
  • Smith form→정수 행렬 분류

등 다양한 측면에서 행렬을 체계적으로 나눌 수 있습니다. 에는 대표적인 행렬 불변량(invariants)과, 이를 기준으로 정의되는 동치류(equivalence classes)를 정리했습니다. 필요에 따라 예시를 덧붙였습니다.

1. 판별값(Determinant)⚑

  • 동치 관계:

* 몫: \(\\GL(n,F)/\\SL(n,F)\cong F^\times\) * 직관: 부피·뒤집힘 정도만 같으면 동치 * 예시:

  • \(\\diag(2,3)\)과 \(\\diag(6,1)\)은 둘 다 det=6 → 동치

2. 랭크(Rank)⚑

  • 동치 관계:

* 몫: \(M_n(F)\) 전반을 \(\{0,1,\dots,n\}\)으로 층위 분류 * 직관: “선형 변환의 상공간 차원”만 같으면 동치 * 예시:

  • \(\small\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)과 \(\small\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\)은 rank=1 → 동치

3. 행렬의 유사(similarity)⚑

  • 동치 관계:

* 불변량:

  • 특성다항식 \(\chi_A(x)\)
  • 최소다항식 \(m_A(x)\)
  • Jordan 표준형
  • 직관: 좌표계만 바뀌어도 “동일한 선형 변환”

  • 예시:

  • \(\\diag(\lambda_1,\lambda_2)\)와 Jordan 블록 \(\begin{pmatrix}\lambda_1&1\\0&\lambda_1\end{pmatrix}\)은 서로 다른 동치류

4. 스펙트럼(고유값 집합)⚑

  • 동치 관계:

* 몫: 다중근·중복근 정보 포함 여부에 따라 분류 강도 조절 * 직관: “어떤 고유값을 가지는지만” 보고 묶기 * 예시:

  • \(\\diag(2,3,3)\)과 \(\\diag(3,2,3)\)은 스펙트럼 \(\{2,3\}\) 동일 → 동치

5. 콘주게이트(congruence)⚑

  • 동치 관계:

* 불변량:

  • Sylvester 관성표(signature)
  • 행렬식 부호 변화
  • 직관: 이차형식(quadratic form) 동치 분류

  • 예시:

  • 실대칭 행렬 \(\\diag(1,1,-1)\)와 \(\\diag(1,-1,-1)\)는 부호 패턴 달라 동치 아님

6. 단위행렬 등 배수(projective equivalence)⚑

  • 동치 관계:

* 불변량:

  • 비율로 정의된 스케일 불변성
  • 예: 행렬을 “프로젝트 공간”으로 볼 때

  • 예시:

  • \(A\)와 \(2A\)는 동치 (모양 변화 없이 크기만 2배)

7. 단위행렬 유니타리 유사(unitary similarity)⚑

  • 동치 관계:

* 불변량:

  • 특잇값(singular values)
  • 스펙트럼 (정규(normal) 행렬일 경우)
  • 직관: 내적 보존하는 회전·반사 동치

  • 예시:

  • SVD 분해로 \(\Sigma\)가 동일한 두 행렬은 동치

8. Smith 정준형식 (정수 행렬)⚑

  • 동치 관계:

* 불변량:

  • 불변인수(invariant factors)
  • 초월수(decomposition)의 계수
  • 직관: 정수 선형 변환의 동치 분류

▶️ 정리⚑

각 불변량은 “어떤 성질만 같으면 동치”라는 동치 관계를 정의하며, 이를 통해

  • det→부피 스케일링 분류
  • rank→상공간 차원 분류
  • similarity→동일 선형 변환 분류
  • spectrum→고유값 분류
  • congruence→이차형식 분류
  • projective→스케일 무시 분류
  • unitary→내적 보존 분류
  • Smith form→정수 행렬 분류

등 다양한 측면에서 행렬을 체계적으로 나눌 수 있습니다.

불변량(Invariant) 대응 추상대수학 개념 관계 및 구조
Determinant • 군 호모몰피즘
• 정확열(exact sequence)		 - \(\det: \\\GL(n,F)\to F^\times\) 은 군 호모몰피즘
- \(\ker(\det)=\\SL(n,F)\),\(\;\\\GL(n,F)/\\SL(n,F)\cong F^\times\) 으로 정확열 \(1\to\\SL\to\\\GL\to F^\times\to1\) 구성
Rank • 모듈의 계수(rank)
• 선형 사상 분해		 - 선형 사상 \(A:V\to W\) 의 rank = \(\dim(\mathrm{Im}\,A)\)
- 벡터 공간(=모듈) 의 부분 모듈 분류 기준
Similarity • 공액(conjugacy) 작용
• 중심(centralizer)		 - \(\\\GL(n)\) 이 자기 자신에 공액 작용
- 동치류(orbit) = 공액류(conjugacy class)
- 중심원소(centralizer) 구조 통해 분류
Spectrum • 대수 호모몰피즘(algebra homomorphism)
• 최대아이디얼		 - 다항식 대입 \(F[x]\to \\End(V)\), \(\chi_A(x)\) 의 영점(roots) 집합
- 스펙트럼 = \(F[x]\)-모듈 \(V\) 의 지지(support)
Congruence • 이차 형식(quadratic form)
• Witt 군		 - \(A\sim B\) iff \(B=P^TAP\) (양칭 변환)
- Sylvester 관성표 → 이차 형식의 분류
- Witt 군으로서 합산·반전 구조
Projective equivalence • 중심(scalar center)
• 몫군(PGL)		 - \(A\sim cA,\;c\in F^\times\)
- \(\PGL(n)=\\\GL(n)/\{\text{scalars}\}\) 으로 프로젝트 공간 작용
Unitary similarity • 단일항 대수(*–algebra)
• 유니타리 군		 - \(A\sim U^*AU\), \(U\in U(n)\) 공액 작용
- C\(^*\)-대수 맥락에서 스펙트럴 정리 적용
Smith 정준형식 • 주 아이디얼 정수환(PID) 모듈 분류 - \(\Z[x]\) 대신 \(\Z\) 위 모듈 분해
- \(M\in M_{n\times n}(\Z)\) 에서 \(\Z^n/\im M\cong\bigoplus \Z/d_i\Z\) 구조 제공
Minimal polynomial • \(F[x]\)-모듈 구조
• 유리 표준형(rational canonical form)		 - \(\phi_A:F[x]\to \\End(V)\) 의 kernel = \((m_A(x))\)
- \(F[x]/(m_A)\cong F[A]\) 으로 1원소 생성 모듈 분류
Jordan canonical form • 기본 아이디얼 분해(primary decomposition)
• 모듈 분해		 - \(F[x]\) 위 모듈 \(V\cong \bigoplus F[x]/((x-\lambda_i)^{e_i})\)
- 각 주 아이디얼에 대한 1차 분해 정보 보존

요약⚑

  • 군론 관점: det → 군 호모몰피즘과 정확열, projective equivalence → \(\PGL\)
  • 환론·모듈론 관점: minimal polynomial, Jordan form → \(F[x]\)-모듈 분해, Smith form → PID 위 모듈 분류
  • 군 작용(군 표현) 관점: similarity, unitary similarity, congruence → 공액 작용(conjugation) 또는 bilinear form 작용에 따른 분류
  • 기하학적·스펙트럼론 관점: spectrum → 대수 호모몰피즘의 영점, singular values → C\(^*\)-대수 스펙트럼

이렇게 각 불변량은 추상대수학의 호모몰피즘·커널·몫, 모듈 분해, 군 작용과 궤도(orbit), Witt 군 등의 핵심 개념과 긴밀히 연결되어, 행렬(또는 선형 변환)을 다각도로 분류·분석할 수 있게 합니다.

아래 표는 선형대수에서 자주 쓰이는 주요 불변량(invariants)들을, 각 불변량이 정의하는 동치 관계(equivalence), 대응하는 추상대수학 개념, 그리고 이 불변량과 관련된 대표적인 분해(decomposition)·정준형식(canonical form)을 한눈에 정리한 것입니다.

불변량 (Invariant) 정의하는 동치 관계 (Equivalence) 대응 추상대수학 개념 관련 분해·정준형식 (Decomposition / Canonical Form)
Determinant \(A\sim B\iff\det A=\det B\) 군 호모몰피즘 \(\det:\\GL(n)\to F^\times\)
정확열		 Polar decomposition
\(A=U\,P\), \(\det A=\det P\)
Rank \(A\sim B\iff\rank A=\rank B\) 모듈의 계수(rank)
이미지·코이미지 분해		 Rank factorization \(A=XY\)
Singular Value Decomposition (SVD)
Characteristic Polynomial — (스펙트럼 기준) 대수 호모몰피즘 \(F[x]\to\End(V)\)
최대 아이디얼		 Eigen decomposition (if diagonalizable)
Spectral theorem
Minimal Polynomial — (모듈 구조 기준) \(F[x]\)-모듈의 kernel ideal \((m_A(x))\) Primary decomposition theorem
Rational canonical form
Similarity \(A\sim B\iff B=P^{-1}AP\) 공액 작용(conjugation)
중심원소(centralizer)		 Jordan canonical form
Primary Decomposition — (minimal polynomial 소인수별) \(F[x]\)-모듈 분해 \(V\cong\bigoplus_i\ker((A-\lambda_i I)^{e_i})\)
Jordan Decomposition similarity 동치류 주 아이디얼 분해(primary decomposition) Jordan blocks \(J_{e}(\lambda)\)
Spectrum (Eigenvalues) \(A\sim B\iff\Spec(A)=\Spec(B)\) 대수 호모몰피즘의 영점(roots) Same as characteristic polynomial factorization
Singular Values \(A\sim B\iff B=U^*AV\) (unitary equiv.) –대수 스펙트럼 (C\(^*\)-algebra) SVD: \(A=U\,\Sigma\,V^*\)
Unitary Similarity \(A\sim B\iff B=U^*AU\) 유니터리 군 \(U(n)\)
*–대수 구조		 Spectral theorem (정규 행렬)
Congruence \(A\sim B\iff B=P^TAP\) 이차 형식(quadratic form)
Witt 군		 Sylvester 관성정리
Orthogonal diagonalization
Projective Equivalence \(A\sim B\iff B=c\,A,\;c\in F^\times\) 몫군 \(\PGL(n)=\\GL(n)/F^\times\)
스칼라 중심		 — (스칼라 배수 무시)
Smith Normal Form \(A\sim B\iff B=P\,A\,Q\) (\(P,Q\in\\GL(n,\Z)\)) PID 위 모듈 분류
불변 인수(invariant factors)		 Smith 정준형식: \(\\diag(d_1,\dots,d_r,0,\dots,0)\)
Polar Decomposition — –대수 분해 \(A=U\,P\), \(U\) unitary, \(P\) positive-definite

주요 관계 요약⚑

  • “함수 → kernel → quotient” 구조

  • det → \(\ker=\\SL(n)\) → \(\\GL(n)/\\SL(n)\cong F^\times\)

  • eval at \(A\): \(F[x]\overset{\phi_A}{\to}F[A]\), \(\ker=(m_A(x))\) → \(F[x]/(m_A)\)

  • 분해 정리

  • Primary: minimal polynomial의 서로 다른 소인수별 공간 분리

  • Jordan: 각 소인수의 중복도까지 반영한 Jordan 블록 분해
  • Spectral / SVD: 정규·임의 행렬 분해를 통한 고유값·특잇값 분리
  • Polar: unitary·양정의 분해를 통한 부피(det)와 회전·반사 분리

이 표를 통해, “어떤 불변량을 기준으로 어떤 동치류를 정의하고, 그 동치류를 대표하는 어떤 분해·정준형식을 쓸 수 있는지”를 한눈에 확인할 수 있습니다.

어따 씀 ?

이렇게 다양한 불변량(및 그에 따른 분류)을 알고 있으면, 상황에 맞게 “어떤 성질만 보고” 혹은 “어떤 표준형을 써서” 문제를 크게 단순화하거나 응용할 수 있습니다. 주요 활용 예시는 다음과 같습니다.

1. Determinant (부피·뒤집힘 스케일 분류)⚑

  • 기하학·물리: 선형 변환이 공간 부피를 얼마나 늘리거나 줄이는지, 그리고 방향을 뒤집는지(orientation)를 판별할 때.
  • 수치해석: 행렬의 가역 여부 확인, 야코비안(Jacobian) 계산 등.

2. Rank (영상 차원 분류)⚑

  • 선형 시스템 해법: 해의 유무(consistent)와 자유도(dimension of solution space) 파악.
  • 데이터 과학: 차원 축소·저차원 근사, 선형 회귀에서 특이행렬 감지.

3. Characteristic Polynomial & Spectrum (고유값 분류)⚑

  • 동역학·제어 이론: 시스템의 안정성(stability) 분석—모든 고유값의 실수부가 음수인가?
  • 진동 해석: 구조물·기계의 고유 진동수(진동 모드) 계산.

4. Minimal Polynomial & Rational Canonical Form⚑

  • 행렬 함수 계산: 지수행렬(exp), 다항 함수 \(f(A)\) 계산 시 차수를 낮춰 효율화.
  • 제어 시스템 이론: 컨트롤러·관측기 설계에서 모듈러 구조 이해.

5. Similarity / Jordan Canonical Form⚑

  • 미분방정식: 상수계수 선형 미분방정식 해석—\(e^{At}\)를 Jordan 블록별로 분해하여 풀기.
  • 알고리즘: 대각화 불가능 행렬의 구조적 분석, 수치적 민감도 파악.

6. Primary Decomposition⚑

  • 모듈론적 관점: 선형 변환이 서로 다른 고유값 공간에서 어떻게 작용하는지 분리.
  • 병렬 계산: 독립적인 고유값 블록별로 분산 처리.

7. Singular Values & SVD⚑

  • 데이터 압축·잡음 제거: 저차원 근사(truncated SVD), Principal Component Analysis (PCA)
  • 역문제·선형 최소제곱: 최적의 근사해 구하기, 유사역행렬(pseudoinverse) 계산.

8. Unitary Similarity & Spectral Theorem⚑

  • 양자역학: Observable(관측가능량)들을 unitary 대각화를 통해 measurement basis로 변환.
  • 신호 처리: 정규 행렬(예: Hermitian) 스펙트럼 분석.

9. Congruence (이차 형식 분류)⚑

  • 최적화·통계: 이차형식 제약 조건, 공분산 행렬의 정준 대각화.
  • 기계학습: Mahalanobis 거리 계산(공분산 행렬의 congruence).

10. Projective Equivalence (스칼라 무시)⚑

  • 컴퓨터 비전·그래픽스: 호모그래피(homography), 투영 변환(projective transform)
  • 사영 기하학: 점·선·평면 관계 유지하며 스케일 무시.

11. Smith Normal Form (PID 위 모듈 분류)⚑

  • 정수 선형대수: 디오판틴 방정식 해법, \(\Z\)-모듈 구조 파악
  • 대수위상학: 호몰로지 그룹 계산 시 chain complex 행렬의 불변 인수 활용.

12. Polar Decomposition⚑

  • 로봇공학·컴퓨터 그래픽스: 변형(transform)을 순수 회전(unitary)과 순수 신장(stretch)으로 분리
  • 수치 안정성: ill-conditioned 행렬의 회전·스케일 성분 분리 분석.

이처럼 “어떤 불변량으로 분류하느냐”에 따라

  • 해의 존재·형태를 빠르게 파악하거나
  • 계산 복잡도를 줄이거나
  • 물리·공학적 해석을 명확히 하거나
  • 데이터 처리·압축에 적용하거나

등 매우 다양한 분야에서 핵심 도구로 활용됩니다.

위 관점에서 A - \lambda I 형태의 판별식을 통해서 다항식을 얻고 그 근에 대한 분해를 하는 것은 무엇고 관련이 있어 ?

“\(A - \lambda I\)” 꼴의 판별식

\[ \chi_A(\lambda)\;=\;\det\bigl(A - \lambda I\bigr) \]

는 바로 특성다항식(characteristic polynomial) 이며, 이 다항식을 바탕으로 다음과 같은 분해(decomposition)·분류가 이루어집니다.

1. 특성다항식(Characteristic Polynomial)⚑

  • 정의

여기서 \(\{\lambda_i\}\)는 고유값, \(m_i\)는 그 중복도입니다.

  • 역할

  • Eigen decomposition

    • \(\chi_A(x)\)가 서로 다른 선형 인수들로 완전히 분해될 때(즉, \(m_i=1\) 모두), \(A\)는 대각화 가능(diagonalizable)

    2. Primary decomposition

    • 일반적으로 \(\chi_A(x)\)의 각 소인수 \((x-\lambda_i)^{m_i}\)에 대해

    로 분리하여, 각 일반화 고유공간(generalized eigenspace) 별로 다룰 수 있음.

  • 연관 분해 정리

분해 정리 설명
Eigen decomposition \(\chi_A\)가 단순근만 가질 때 가능
Jordan canonical form \(\chi_A(x)=\prod_i (x-\lambda_i)^{m_i}\)에 따라 각 \(\lambda_i\) 블록 크기 \(e_i\)를 결정해 표준형 구성
Primary decomposition \(V=\bigoplus \ker((A-\lambda_i I)^{m_i})\)

2. Minimal Polynomial 과의 관계⚑

  • Minimal polynomial \(m_A(x)\)는 \(\chi_A(x)\)의 약(略)다항식이며,

* Primary decomposition에서는 \(e_i\)를 이용해 \(\ker\bigl((A-\lambda_i I)^{e_i}\bigr)\)를 쪼개고, Rational canonical form이나 Jordan form을 결정합니다.

3. 추상대수학적 관점⚑

  • \(F[x]\)-모듈 \(V\)를

로 분해하는 것이 Primary decomposition theorem * \(\chi_A(x)\)와 \(m_A(x)\)는 모두 \(\phi_A: F[x]\to\End(V)\) 의 kernel 과 image 정보를 담고, quotient \(F[x]/(m_A)\)로부터 \(A\)가 생성하는 대수 \(F[A]\)의 구조까지 결정합니다.

요약⚑

  1. \(\det(A-\lambda I)\) → 특성다항식 → 고유값과 그 중복도로 “eigen decomposition” 혹은 “primary decomposition” 실행
  2. 중첩도 \(m_i\) → Jordan blocks 크기 결정 → Jordan canonical form
  3. Minimal polynomial \(m_A(x)\)과 결합 → 모듈 분해(\(F[x]\)-module structure) → Rational canonical form, primary decomposition

이처럼 “\(A-\lambda I\)” 판별식이 주는 특성다항식과 그 근들의 분해는, 앞서 보았던 det-quotient, minimal polynomial-quotient 구조와 나란히 작동하면서 행렬의 고유값 분류, 일반화 고유공간 분해, 표준형을 완성해 줍니다.

Jordan vs Primary

간단히 정리하면, Primary Decomposition은 “고유값별(혹은 최소다항식의 서로 다른 소인수별)로 공간을 덩어리로 쪼개는 분해”이고, **Jordan Decomposition(Jordan Canonical Form)**은 그 각 덩어리 안에서 “더 세부적인 Jordan 블록 구조”까지 완전히 드러내는 분해입니다.

1. Primary Decomposition (일차 분해)⚑

  • 무엇을 쪼개나? 최소다항식 \(m_A(x)\) 혹은 특성다항식 \(\chi_A(x)=\prod_i (x-\lambda_i)^{m_i}\)의 서로 다른 소인수 \((x-\lambda_i)\) 단위로

* 결과:

  • 각각의 \(V_{\lambda_i}\)는 “\(\lambda_i\)에 대응하는 일반화 고유공간(generalized eigenspace)”
  • 공간 전체를 “고유값별 블록 덩어리”로 분리하지만, 각 덩어리 내부의 구조(블록 크기 등)는 무시

2. Jordan Decomposition (Jordan 표준형)⚑

  • 무엇을 더 드러내나? Primary 분해로 얻은 각 \(V_{\lambda_i}\) 안에서, Jordan block 단위로 더 잘게 쪼갭니다.

여기서 \(J_e(\lambda)\)는 크기 \(e\)의 Jordan 블록. * 결과:

  • 각 덩어리 \(V_{\lambda_i}\)의 nilpotent 구조(즉, \((A-\lambda_i I)\)의 Jordan chains 길이)를 완전하게 명시
  • 전체 \(A\)를 “모든 Jordan 블록을 대각선상에 배열”한 가장 정교한 표준형

3. 비교 정리⚑

구분 Primary Decomposition Jordan Decomposition
기준 불변량 서로 다른 소인수 \((x-\lambda_i)\) 중복도 \(m_i\) 뿐 아니라 각 블록 크기 \(e_{ij}\)까지
쪼갬 단위 일반화 고유공간 \(V_{\lambda_i}\) Jordan block \(J_{e_{ij}}(\lambda_i)\)
목적 “고유값별”로 큰 덩어리 분리 “고유값별” + “블록 크기별”로 완전 분해
얻는 구조 \(V=\bigoplus_i V_{\lambda_i}\) \(V=\bigoplus_{i,j} \text{(Jordan chain)}\)
활용 이론적 분류, 모듈 분해 정리(Primary Theorem) 세부 구조 분석, 계산적 표준형(Jordan Canonical Form)

시각적 예시 (2×2 대각화 불가 행렬)⚑

  • \(A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\)

  • Primary: \(\chi_A=(x-2)^2\)이므로 전체 공간이 하나의 덩어리 \(V_2=\ker((A-2I)^2)\)

  • Jordan: 그 덩어리 안에서

    블록 하나로 세부 구조(크기 2 블록)를 드러냄.

결론:

  • Primary Decomposition은 “고유값별 덩어리 분리”
  • Jordan Decomposition은 “그 덩어리 안에서 다시 Jordan chain(블록) 단위로 완전 분해”
  • 두 단계가 합쳐져야 \(A\)의 전체 구조를 완전하게 이해할 수 있습니다.