distance_vs_metric_vs_norm

Distance vs Metric vs Norm⚑

세 개념 모두 어떤 도메인에서 실수로 보내는 함수인데, 각자가 다루는 도메인과 성질이 다르다. 셋 모두 추상적인 “거리" 와 같은 개념을 정의하고자 도입된 것이며, 일상어에서 사용하는 “거리”의 추상적 의미를 엄밀하게 정의하다보니 갈래가 나눠진 듯 하다.

Definition of Measure⚑

X 를 집합이라고 하고, \(\Sigma\) 를 X위의 \(\sigma\)-algebra 라고 하자. ( Mesurable Space )

Measure 는 다음과 같은 성질을 만족하는 함수이다.

1. Non-negativity
2. Null empty set
3. Countable additivity

Definition of Metric⚑

Metric 은 집합 X 에서 정의된 다음과 같은 성질을 따르는 함수이다. ( Just set )

1. identity of indicernibles : \(d(x,y)=0 \iff x=y\)
2. symmetry : \(d(x,y) =d(y,x)\)
3. trangle inequality : \(d(x,z) \le d(x,y) +d(y,z)\)

위 axiom 으로부터 non-negativity 가 유도된다.

Definition of Norm⚑

Norm 은 vector space X 에서 정의된 다음과 같은 성질을 만족하는 함수이다. ( Vector space )

\(d:X \rightarrow \mathbb{R}\) 이고 다음과 같은 성질을 만족한다.

1. Triangle inequality
2. Absolute homogenity
3. Positive Definiteness
4. Non-Negativity