overview

벡터공간 → 선형사상 → 행렬 → 고윳값 이론 → 스펙트럼 이론 → 연산자 이론

• Vector Space (벡터공간)

• 정의 및 공리 (체 위에서 정의된 벡터의 집합)

• Subspace
• Linear Combination / Span / Basis / Dimension
• Direct Sum
• Dual Space (쌍대 공간)
• Quotient Space

• Linear Map (선형사상)

• 정의: \(T: V \to W\), \(T(av + bw) = aT(v) + bT(w)\)

• Kernel / Image
• Rank-Nullity Theorem
• Isomorphism
• Change of Basis
• Matrix Representation of Linear Map

• Matrix Theory (행렬론)

• 행렬의 기본 연산 (덧셈, 곱셈, 전치, 역행렬 등)

• 행렬의 계수 (Rank)
• Elementary Row Operation / Gaussian Elimination
• Determinant
• Trace
• Similarity and Diagonalizability

• Eigen Theory (고윳값 이론)

• Eigenvalue / Eigenvector

• Characteristic Polynomial
• Algebraic Multiplicity / Geometric Multiplicity
• Diagonalizability 조건
• Minimal Polynomial
• Cayley-Hamilton Theorem
• Jordan Canonical Form (Jordan Normal Form)

• Inner Product Space (내적공간)

• Inner Product / Norm / Orthogonality

• Orthonormal Basis / Gram-Schmidt Process
• Orthogonal Complement
• Orthogonal Projection
• Orthogonal / Unitary Transformation
• Spectral Theorem (finite-dimensional)

• Spectral Theory (스펙트럼 이론)

• 스펙트럼의 정의 (Spectrum of an operator)

  • 점 스펙트럼 (고윳값)
  • 연속 스펙트럼
  • 잔여 스펙트럼
  • Bounded Linear Operators on Hilbert Space
  • Self-adjoint Operator (자기수반 연산자)
  • Compact Operator

  • Spectral Theorem (무한 차원 버전)

  • 정규 연산자의 대각화 가능성

  • 분해 형태: \(T = \int \lambda dE(\lambda)\)
  • Functional Calculus
  • Resolvent Set / Resolvent Operator

• Applications and Advanced Concepts

• Normal Operators / Unitary Operators

• Spectral Radius
• Multiplication Operators
• Quantum Mechanics에서의 Operator 해석
• Differential Operator의 스펙트럼
• Fourier Transform과 Spectral Viewpoint

선형대수 및 스펙트럼 이론 구조에 추가적으로 아래 내용으로 확장

• Functional Analysis
• Hilbert Space 중심의 Operator Theory

벡터공간 → 선형사상 → 행렬 → 고윳값 이론 → 내적공간 → 스펙트럼 이론 → 힐베르트 공간 → 바운디드/언바운디드 연산자 → 해석적 스펙트럼 이론

• Topological Vector Space

• Normed Space

• Metric Space

• Banach Space

  • Completeness
  • Examples: \(\ell^p, C([a,b]), L^p\)

• Hilbert Space (힐베르트 공간)

• Inner Product Space + 완비성

• Orthonormal Basis (Hamel vs Schauder)
• Riesz Representation Theorem
• L² 공간의 해석적 성질
• Weak / Strong Convergence
• Orthogonal Projection Theorem
• Direct Sum Decomposition

• Bounded Operators on Hilbert Space

• Bounded Linear Operator

• Operator Norm
• Adjoint Operator \(T^*\)
• Self-adjoint / Normal / Unitary Operator
• Projection Operator
• Invariant Subspaces

• Spectral Theory in Hilbert Space

• 스펙트럼 분류

  • Point Spectrum (Eigenvalues)
  • Continuous Spectrum
  • Residual Spectrum

  • Spectral Theorem (Bounded Normal Operators)

  • Spectral Measure \(E(\lambda)\)

  • Functional Calculus: \(f(T) = \int f(\lambda) dE(\lambda)\)

  • Compact Operators

  • Fredholm Alternative

  • Spectrum은 countable, 고윳값만 존재 (0 제외)

• Unbounded Operators

• Differential Operators

• Domain of Definition
• Closed Operator / Closable
• Self-adjoint Unbounded Operators
• Stone's Theorem (Unitary Group ↔ Self-adjoint Generator)

• Applications and Advanced Concepts

• Quantum Mechanics

  • Position / Momentum Operator
  • Commutation Relations
  • Spectral View of Schrödinger Equation

  • Fourier Analysis

  • Spectral Decomposition as Fourier Transform

  • Plancherel Theorem

  • PDE 해석

  • Laplacian Operator의 Spectrum

  • Green's Function

  • C*-Algebra와의 연결

  • Operator Algebra

  • Gelfand Representation

🔗 연결 요약 (개념적 트리)⚑

Vector Space
├── Linear Map / Matrix
│   └── Eigenvalue Theory
│       └── Diagonalization / Jordan Form
├── Inner Product Space
│   └── Orthogonalization / Projection
│       └── Finite-dimensional Spectral Theorem
├── Hilbert Space
│   ├── Functional Analysis 도입
│   ├── Bounded Operator
│   │   └── Spectral Theorem (정규 연산자)
│   └── Unbounded Operator
│       └── Differential Operator / Quantum Operator
└── Spectral Theory (전체 관통)
    ├── Operator의 분해와 해석
    ├── Functional Calculus
    └── 응용: PDE, QM, Harmonic Analysis

필요하시면 이 구조를 기반으로:

• 각 노드에 대해 단문 정의 / 예시
• 실전 문제 또는 증명 중심의 문제집
• 러닝 플랜 / 로드맵 커리큘럼 도 함께 설계해드릴 수 있습니다.

어떤 방향으로 더 발전시켜볼까요?